Cik mazs ir vismazākais un cik liels – vislielākais? Matemātiķu bezgalība ir tas pats, kas fiziķu nulle. Profesora Auziņa zinātnes sleja

Jau pirms vairāk nekā 2500 gadiem Senajā Grieķijā, kopš racionālās domāšanas par pasauli pašiem pirmsākumiem, radās jautājums – vai eksistē kāds pirmelements vai vairāki pirmelementi, tāds kā visvienkāršākais "lego klucītis" vai klucīši, no kā veidota visa apkārt esošā pasaule. Atbildes bijušas dažādas.

Sengrieķu filozofs Talēss (ap 624.–546. g.p.m.ē.), kurš viens no pirmajiem aizdomājās par šo jautājumu, par visa esošā pirmelementu uzskatīja ūdeni. Ūdens var sasalt un veidot cietas vielas, tas var būt šķidrums, bet tas var arī iztvaikot un pārvērsties par gāzi. Tāds, secināja Talēss, tas var būt visu vielu pamatā.

Vai viela dalāma bezgalīgi?

Te mēs nonākam pie vēl viena interesanta jautājuma, par ko cilvēki bieži ir aizdomājušies. Pieņemsim, ka mums ir kaut kāds tilpums šā caurspīdīgā šķidruma – ūdens. Šo ūdens daudzumu sadalām uz pusēm. Tad vienu pusi atkal sadalām uz pusēm. Un tā stāstu varam turpināt bezgalīgi. Bet vai varam? Vai būs mazākā ūdens porcija, kuru tālāk sadalīt vairs nebūs iespējams? Ja šo jautājumu noformulētu nedaudz vispārīgāk un arī abstraktāk, tas varētu skanēt – vai viela ir bezgalīgi dalāma?

Profesora Auziņa zinātnes sleja

Mārcis Auziņš: "Kādēļ lasīt manus tekstus? Man šķiet, ka dabaszinātnes mēs bieži mēdzam "ignorēt", sakot, ka tās ir formālas, sausas un neinteresantas. Gribētos ļaut lasītājam ieraudzīt, ka tās ir daļa no mūsu dzīves – krāsainas un interesantas."

Biogrāfijas pieturzīmes:

  • Pēc profesijas fiziķis, šobrīd Latvijas Universitātes profesors, Eksperimentālās fizikas katedras un Lāzeru centra vadītājs.
  • No 2007. gada līdz 2015. bijis Latvijas Universitātes rektors.
  • Strādā kvantu fizikas jomā un ir vairāk nekā simts zinātnisko rakstu, kas publicēti pasaules vadošajos fizikas žurnālos, un vairāku simtu konferenču ziņojumu autors.
  • Kopā ar kolēģiem no Rīgas un Bērklijas uzrakstījis divas monogrāfijas, kas izdotas "Cambridge University Press" un "Oxford University Press" izdevniecībās un abas ir piedzīvojušas atkārtotus izdevumus.
  • Karjeras laikā dzīvojis un strādājis dažādās valstīs – Ķīnā un Taivānā, Amerikas Savienotajās Valstīs, Kanādā, Anglijā, Izraēlā un Vācijā.

Katrs, kurš mācījies skolā ķīmiju, šobrīd varētu paraustīt plecus un neizpratnē nodomāt – kurš tad nezina, ka ūdens sastāv no molekulām. Daudzi varētu pat uzrakstīt ūdens molekulas formulu H2O – divi ūdeņraža atomi, kas savienojumā ar vienu skābekļa atomu veido ūdens molekulu. Tātad, lai ūdens būtu ūdens, mēs varam to dalīt daļās, līdz paliks pēdējā ūdens molekula, kuru dalot tālāk atomos, ūdens vairs nebūs ūdens. Secinājums: ūdens un arī jebkura cita viela sastāv no mazākajiem elementiem, ko tālāk sadalīt vairs nav iespējams.

Vārds "atoms" nāk no sengrieķu valodas un nozīmē nedalāmais. Par šā termina ieviesēju bieži min sengrieķu filozofu Demokrītu (ap 470.–390. g.p.m.ē.). Te gan jāpiebilst, ka atklājumi reti tiek nosaukti to cilvēku vārdos, kuri tos patiešām ir izdarījuši. Taču ne tas ir svarīgi. Svarīgāks ir jautājums, vai tiešām eksistē mazākā vielas porcija, vai viela tomēr ir dalāma daļās bezgalīgi?

Dabaszinātņu attīstības vēsturē šis jautājums netika atrisināts Senajā Grieķijā. Vēl 19. gadsimta beigās Latvijā dzimušais, vēlāk Nobela prēmijas laureāts ķīmijā Vilhelms Ostvalds bija pārliecināts, ka neeksistē mazākā vielas daļiņa un ka jebkura viela ir dalāma daļās bezgalīgi, turklāt šim dalīšanas procesam teorētiski gals nekad nepienāks.

Starp citu, Vilhelms Ostvalds, lai arī pēc tautības vācietis, ir vienīgais Latvijā dzimušais Nobela prēmijas laureāts un tādēļ ir pelnījis īpašu mūsu uzmanību un cieņu.

Te gan jāteic, ka vēlāk Ostvalds, lielā mērā pateicoties Alberta Einšteina skaidrojumam par to, kāpēc ziedputekšņi, ja tos novēro mikroskopā, nepārtraukti pārvietojas (to sauc par Brauna kustību), savu nostāju vēlāk mainīja un atzina atomu eksistenci.

Kā ir ar enerģiju?

Taču fiziķi runā par vēl abstraktāku lietu nekā atomi. Ikviens no mums saskaras ar enerģiju. Tā var būt gan kustības enerģija automašīnai, siltuma enerģija, ko mēs patērējam un par kuras cenām mums šobrīd ir nemierīgs prāts. Tā var būt arī gaismas enerģija, par kuru vienā no tās izpausmēm mēs mēdzam priecāties pavasarī, sakot, ka saulīte mūs patīkami silda.

Kā ir ar enerģiju? Tā šķiet netverama, un domāt par mazāko enerģijas porciju ir vēl grūtāk, nekā domāt par atomiem. Šķiet, ka Saules enerģiju, piemēram, gaismas ceļā noliekot puscaurspīdīgu spoguli un tad atlikušās gaismas ceļā atkal liekot puscaurspīdīgu spoguli, un tā vēl un vēl, gan varēs dalīt bezgalīgi. Vēl 20. gadsimta pašā sākumā fiziķi tā patiešām domāja. Šķita, ka šādai Saules gaismas, siltuma vai enerģijas jebkurā citā formā dalīšanai nav robežu. Intuitīvi to var saprast? Izrādās, ka arī ar intuīciju jābūt uzmanīgam. Arī tā mēdz būt mānīga. Izrādās, ka arī gaismas enerģiju nav iespējams dalīt daļās bezgalīgi. Par to domājot un to pētot, 20. gadsimta sākumā radās kvantu fizika.

Pats nosaukums – kvantu fizika – labi raksturo šo situāciju.

Ir vērts aizdomāties, ko tīri jēdzieniski, terminoloģiski, kā filologi teiktu – semantiski, nozīmē vārds vai jēdziens "kvants"?

Protams, tas nozīmē mazāko porciju un norāda uz tās eksistenci fizikā. No turienes arī teorijas nosaukums – kvantu fizika jeb kvantu mehānika.

Droši vien šeit vietā atcerēties, ka Alberts Einšteins ir viens no tiem, kurš par kvantu fizikas izveidošanu 1921. gadā saņēma Nobela prēmiju fizikā. Tātad, nevis par relativitātes teorijas atklāšanu, par kuru mēs viņu visbiežāk atceramies, bet tieši par idejām kvantu fizikā.

Nulles nozīme

Interesantas ir paralēles starp fiziku un matemātiku, kad matemātiķi un arī praktiķi, kuri skaitļus praktiski lietoja ikdienā, sāka prātot par to, kas ir "nekas" jeb lietu neesamība un ko skaitot apzīmējam ar mums tik pierasto skaitli – nulle. Nulles jēdziens matemātikā parādījās samērā vēlu. Droši vien var teikt, ka nav nemaz tik vienkārši domāt par nulli, domāt par neko vai tukšumu. Starp citu, matemātikas vēsturnieki joprojām īsti nevar vienoties, kad un kur skaitīšanā sāka izmantot nulles jēdzienu. Tas notika ilgi pēc tam, kad cilvēki praktisku apsvērumu dēļ sāka skaitīt lietas. Šajos nulles pirmsākuma meklējumos ir iesaistījušies arī pētnieki no Latvijas, darbojoties lielā starptautiskā Nulles projektā (The Zero project), kura kulminācija būs monogrāfijas izdošana nākamā gada sākumā. Šobrīd tā atrodas drukāšanas procesā, un, kad monogrāfija nāks klajā, būs iemesls par nulli parunāt sīkāk.

Kādēļ tas ir interesanti? Tas parāda zināmas atšķirības starp to, kā domā fiziķi un kā – matemātiķi. Nedaudz vienkāršoti es to raksturotu šādi. Fizikā neradās grūtības domāt par to, ka enerģiju varētu dalīt bezgalīgi daudz reižu, kad pēc katras dalīšanas pāri paliek aizvien mazāk, kamēr galu galā nepaliek praktiski nekas. Nonākam pie nekā – pie nulles. Praktisks fiziķis ar to ir mierā.

Turpretī matemātikā abstrakti domājošs matemātiķis šeit saskata lielu problēmu un to, ka ir ļoti grūti domāt par neko.

Varētu teikt, ka brīdī, kad pietuvojamies nullei, sākas jauna matemātika, jauni matemātikas attīstības virzieni. Turpretī fizikā jauni fizikas attīstības virzieni sākas tieši pretēji. Tie sākas brīdī, kad esam spiesti atteikties no iespējas pietuvoties nullei.

Atšķirības starp to, kā attīstījusies fizika un kā attīstījusies matemātika, šajā vietā nebeidzas. Arī runājot un domājot par ļoti lielo (nevis tuvojoties nullei, bet gan tieši pretēji), šīs atšķirības turpinās.

Bezgalības jauda: dažas bezgalības ir bezgalīgākas

Ļoti liels savā galējā izpausmē ir bezgalīgi liels. Tas ir vēl viens interesants jēdziens, par kuru sapratne veidojusies ļoti neparasti. Jau Aristotelis Senajā Grieķijā domāja par bezgalību eksaktā veidā. Piemēram, viņš atšķīra potenciālu bezgalību no aktuālās. Piemēram, skaitīt var sākt no viens un turpināt – divi, trīs, četri un tā nebeidzami.

Lielāko skaitli, par kuru lielāka vairs nav, sasniegt nevar, jo tāds neeksistē. Aristoteļa versijā tā ir potenciāla bezgalība, kuru reāli, aktuāli, kā teiktu Aristotelis, sasniegt nekad nebūs iespējams.

Caur dažādām zinātnes vēstures peripetijām varam nonākt pie matemātiķa Džordža Kantora (1845.–1918.), kurš ieviesa jaunu jēdzienu – bezgalības jauda.

Slejā vēl vari lasīt:

Tāpat kā Džordžs Orvels savos romānos apgalvo, ka visi cilvēki ir vienlīdzīgi, bet daži ir vienlīdzīgāki par citiem, Kantors atklāja, ka visās bezgalībās ir bezgala daudz elementu, bet dažās bezgalībās no tām to ir bezgala daudz reižu vairāk nekā citās. Piemēram, skaitot no 1 līdz bezgalībai, ir bezgalīgi daudz skaitļu. Bet starp 1 un 2 arī ir bezgalīgi daudz racionālu un iracionālu skaitļu – daļskaitļu, kurus var izteikt kā divu skaitļu dalījumu, piemēram, 3/4, un tādu, ko nevar izteikt kā veselu skaitļu attiecību. Piemērs iracionālam skaitlim ir skaitlis "pī", kas ir riņķa līnijas garuma attiecība pret tās diametra garumu. Varbūt tas skan negaidīti, bet šo skaitli nevar izteikt kā divu veselu skaitļu attiecību.

Atgriežoties pie fizikas, redzam, ka jauni matemātikas virzieni sākas brīdī, kad matemātiķi sāk domāt par bezgalīgi lieliem skaitļiem. Fizikā – tieši pretēji. Nešķita, ka tam, cik ātri var kustētie ķermeņi, fizikā ir kādi fundamentāli ierobežojumi. Un tikai tad, kad Alberts Einšteins 1905. gadā nonāca pie secinājuma, ka gaismas ātrums ir absolūti lielākais ātrums, kāds principiāli var eksistēt jeb, citiem vārdiem, ir principiāla robeža, cik ātra kustība iespējama, radās jauna fizika – relativitātes teorija. Tas notika brīdī, kad izveidojās sajūta, ka fizikā no cerības, ka mēs varētu pārraidīt jebkuru informāciju ātrāk par gaismas ātrumu, ir jāatsakās.

Gaismas ātrums ir absolūti lielākais iespējamais ātrums. Ātrāk par to kustēties nav iespējams principā.

Nereti tiek apgalvots, un tam var tikai piekrist, ka matemātika ir tā valoda, kādā daba izpauž mums savus noslēpumus. Tomēr, izrādās, un tas man šķiet ievērības vērts, ka tie netriviālie jautājumi, kas rada diskusijas matemātikā – dabas likumu valodā –, dažreiz būtiski atšķiras no tiem jautājumiem, kas izriet no pašiem dabas noslēpumiem.

Kļūda rakstā?

Iezīmējiet tekstu un spiediet Ctrl+Enter, lai nosūtītu labojamo teksta fragmentu redaktoram!

Iezīmējiet tekstu un spiediet uz Ziņot par kļūdu pogas, lai nosūtītu labojamo teksta fragmentu redaktoram!

Vairāk

Svarīgākais šobrīd

Vairāk

Interesanti