Profesora Auziņa zinātnes sleja
Mārcis Auziņš: "Kādēļ lasīt manus tekstus? Man šķiet, ka dabaszinātnes mēs bieži mēdzam "ignorēt", sakot, ka tās ir formālas, sausas un neinteresantas. Gribētos ļaut lasītājam ieraudzīt, ka tās ir daļa no mūsu dzīves – krāsainas un interesantas."
Biogrāfijas pieturzīmes:
- Pēc profesijas fiziķis, šobrīd Latvijas Universitātes profesors, Eksperimentālās fizikas katedras un Lāzeru centra vadītājs.
- No 2007. gada līdz 2015. bijis Latvijas Universitātes rektors.
- Strādā kvantu fizikas jomā un ir vairāk nekā simts zinātnisko rakstu, kas publicēti pasaules vadošajos fizikas žurnālos, un vairāku simtu konferenču ziņojumu autors.
- Kopā ar kolēģiem no Rīgas un Bērklijas uzrakstījis divas monogrāfijas, kas izdotas "Cambridge University Press" un "Oxford University Press" izdevniecībās un abas ir piedzīvojušas atkārtotus izdevumus.
- Karjeras laikā dzīvojis un strādājis dažādās valstīs – Ķīnā un Taivānā, Amerikas Savienotajās Valstīs, Kanādā, Anglijā, Izraēlā un Vācijā.
Arhimēda asprātīgais piegājiens
Varējām sākt ar vēl senākiem tekstiem, bet sāksim ar Bībeli, ar 1. Ķēniņu grāmatu, kura rakstīta pirms apmēram divarpus tūkstošiem gadu un kurā ir aprakstīts Zālamana templis. Runājot par tempļa iekārtojumu, lasāms, ka tā priekšā atradās liels vara baseins. Tekstā to sauc par jūru, un no rakstītā uzzinām, ka meistars Hīrāms to darināja:
… atliedams to no vara visapkārt apaļu, tai bija desmit elkoņi no malas līdz malai, tās augstums bija pieci elkoņi un apkārtmērs – trīsdesmit elkoņi. (1. Ķēniņu grāmata 7:23)
Tātad apkārtmērā trīsdesmit vienības, bet diametrā (no malas līdz malai) desmit vienības. Te varam redzēt Bībeles teksta versiju atbildei uz mūžsenu jautājumu, cik reižu riņķa garums ir lielāks par tā diametru. Trīs reizes – saka 1. Ķēniņu grāmatas autors. Tā ir gandrīz, bet ne pilnīgi precīza atbilde. Taču Bībele nav matemātikas mācību grāmata, un lielu precizitāti matemātikas jautājumos mēs no tās neprasām.
Šķiet, pats pirmais, kurš, meklējot precīzu atbildi, uzdeva matemātisku jautājumu par to, cik reižu riņķa līnijas garums ir lielāks par riņķa diametru, bija Arhimēds Senajā Grieķijā apmēram 250 gadus pirms mūsu ēras. Šo viedo vīru vēsturē atceramies dažādos kontekstos. Par viņu parunāsim kādreiz sīkāk, bet šoreiz par to, kādā asprātīgā veidā viņš meklēja pēc iespējas precīzāku atbildi uz jautājumu, cik tad īsti riņķa līnija ir garāka par šā riņķa diametru.
Arhimēds domāja šādi. Iezīmēsim riņķa iekšpusē kvadrātu tā, lai tā visi četri stūri pieskaras riņķa līnijai. Šādu attēlu nav grūti iedomāties. Protams, kvadrāta malu kopējais garums ir mazāks par tam apkārt esošās riņķa līnijas garumu. Tas būtu skaidrs. Bet, ja kvadrāta vietā ņemsim sešstūri, kura visi stūri pieskaras riņķa līnijai, un turpināsim palielināt stūru skaitu, tad kādā brīdī šo daudzstūri ar ļoti daudziem stūriem kļūs grūti atšķirt no riņķa līnijas. Izskatīsies pēc riņķa, kas uzzīmēts ar nedaudz trīsošu roku. Tātad turpinot palielināt daudzstūra stūru skaitu un rēķinot daudzstūra malu kopējo garumu jeb perimetru, pamazām tuvojamies riņķa līnijas garumam. Protams, nekad īsti to nesasniedzot. Matemātiķi saka (un nav grūti to saprast) – mēs pakāpeniski tuvojamies patiesajam riņķa līnijas garumam "no apakšas". Tātad, tuvojoties riņķa garuma vērtībai, daudzstūra perimetrs tomēr vienmēr būs par to mazāks.
Atkārtojam to ar nelielām niansēm, sākotnējo kvadrātu iezīmējot nevis riņķa līnijas iekšpusē, bet gan ārpusē tā, lai visas četras kvadrāta malas tai pieskaras. Tad līdzīgi zīmējam daudzstūrus ar aizvien pieaugošu malu skaitu. Atkal beigās iegūstam daudzstūri, kas līdzinās riņķa līnijai, kura uzzīmēta ar "trīcošu roku". Tikai šoreiz mazliet lielāku, jo visas daudzstūra malas nav riņķa iekšienē kā iepriekš, bet ir ārpus tā. Tātad varam secināt, ka šā daudzstūra perimetrs tuvojas patiesajai riņķa līnijas garuma vērtībai no "augšas", vienmēr esot par to nedaudz lielāks.
Kļūst grūti vizuāli iedomāties un izsekot šim stāstam?
Ja tā ir, uzskatiet šo par nelielu vizuālās iztēles vingrinājumu, nelielu prāta treniņu, jo no šiem vingrinājumiem tūlīt sekos, kā man šķiet, pārsteidzoši secinājumi, nonākot gan līdz iracionālajam, gan līdz transcendentajam matemātikā.
Ar aprakstīto metodi Arhimēds izsecināja, ka, ja riņķa diametrs ir vienu vienību liels, tad riņķa līnijas garums ir mazāks par 3 un 1/7 (apmēram 3,1429), bet lielāks par 3 un 10/71 (apmēram 3,1408). Iespējams, ka atceramies skolā mācīto – riņķa līnijas garuma attiecība pret tās diametru tiek apzīmēta ar grieķu burtu π (pī) un ir aptuveni 3,14. Āķis un stāsta intriga ir tajā, ka tagad zinām, ka uzrakstīt skaitli π kā 3, kam seko divu veselu skaitļu attiecība (kā iepriekšējā piemērā 10/71), lai arī cik lielus divus skaitļus izmantotu, nav iespējams.
Tātad eksistē tādi dīvaini skaitļi, kurus nevar uzrakstīt kā divu veselu skaitļu attiecību. Pierastā veidā tos precīzi uzrakstīt nav iespējams. Var uzrakstīt skaitli kā simbolu π, bet atbilde uz jautājumu, skaitliski precīzi cik liels tas ir, izrādās nedaudz negaidīta. Tas ir principā neatbildams jautājums, jo to veido ciparu virkne 3,14159265358979323846…, kas, pirmkārt, nekad nebeidzas, bet, kas ir vēl svarīgāk, ciparu kombinācijas šajā virknē nekad neatkārtojas. Matemātiķiem ir izaicinājums izrēķināt pēc iespējas garāku šo skaitļu virkni. Tas nozīmētu uzrakstīt pēc iespējas labāku skaitļa tuvinājumu, saprotot, ka uzrakstīt tā vērtību precīzi nav lemts. Tomēr matemātiķi var sacensties un uzstādīt rekordu precizitātē, ar kādu skaitlis π tiks atrasts. Šobrīd matemātiķi ir spējuši izrēķināt vairāk nekā vienu triljonu zīmju jeb ciparu virknē, kas seko 3,14…
Jautājums, vai tam ir kāda praktiska nozīme – zināt tik daudz (triljonu!) ciparu šajā virknē? Atbilde ir viennozīmīga – nē! Zinot tikai pirmos trīsdesmit divus ciparus skaitlī π, Visuma apkārtmēru, ja zinām tā diametru, var izrēķināt ar kļūdu, kas ir mazāka par atoma kodola diametru.
Taču zinām, ka cilvēki ne vienmēr vēlas būt tikai un vienīgi praktiski jeb, varbūt varētu teikt, racionāli. Notiek sacensības, cik skaitļa π ciparus cilvēks var atcerēties no galvas. Šobrīd šis rekords pieder studentam no Indijas, un tas ir prātam grūti aptverams. Rajvīrs Mīna (Rajveer Meena) spēja atcerēties un nosaukt pirmos septiņdesmit tūkstoš ciparus virknē, kas raksturo π. Tas notika 2015. gadā, un skaitīšana ilga veselas desmit stundas.
Tāds, lūk, iracionāls, tātad līdz galam skaitliski neuzrakstāms, skaitlis ir π.
Vai tas ir vienīgais tāds?
Nebūt ne. Līdzīgas īpašības ir, piemēram, skaitļiem, ko veido kvadrātsakne no divi vai kvadrātsakne no trīs. Tomēr ir atšķirība starp šiem iracionālajiem skaitļiem π, no viena puses, un √2 un √3, no otras puses. Kvadrātsakni paceļot kvadrātā, iegūsim skaitļus 2 un 3. Tātad iegūstam tik pierastos un saprotamos veselos skaitļus. Tas nozīmē, ka iracionālie skaitļi √2 un √3 var tikt sasaistīti par "parastajiem" veselajiem skaitļiem. Turpretī skaitlis π, lai ko arī ar to darītu, nevar tikt sasaistīts ar veselu skaitli. Tādēļ skaitli π saucam ne tikai par iracionālu, bet arī par transcendentu. Vai π ir vienīgais mums zināmais transcendentais skaitlis? Atkal atbilde ir nē, ir vēl arī citi, bet par tiem ne šoreiz. Baidos, ka šis stāsts var kļūt nedaudz nogurdinošs.
Ko es ar šo gribu teikt?
Tikai vienu. Mums nereti šķiet, ka, lai arī matemātika mēdz būt sarežģīta, bet skaitļi gan nekādus zemūdens akmeņus nesagādās. Izrādās, ka, domājot nedaudz dziļāk, arī skaitlis nav nemaz tik triviāla lieta. Var būt veseli skaitļi un to daļas, kā viena puse vai divas trešdaļas, bet var būt arī iracionāli skaitļi, kurus precīzi izrēķināt ir ārpus iespējamā. Un tad starp šiem iracionālajiem skaitļiem pagadās arī transcendenti, tādi, ar kuriem darbojoties, piemēram, kāpinot tos kādās pakāpēs, mēs joprojām tos nevaram padarīt viegli rēķināmus, tātad racionālus.
Profesora Auziņa zinātnes sleja
